Как мы и сказали в заключение прошлого урока, принять решение - это лишь половина дела. Вторая половина - оценить, насколько оно было правильным, верным и эффективным. Важно это по той причине, что оценка позволяет понять, насколько грамотными были предпринятые действия, приведут ли они к успеху в будущем, и вообще, стоит ли на них рассчитывать. Оценка принятых решений - это своеобразная лакмусовая бумажка, проверяющая их на результативность. Однако очень важно понимать, что обычные решения в жизни и управленческие решения оцениваются по разным алгоритмам.
Для начала немного повторимся: если перед вами встала необходимость принять какое-то сложное решение, последствия которого вас беспокоят, в первую очередь стоит несколько раз обдумать все ЗА и ПРОТИВ, оценить ситуацию и возможные варианты ее разрешения. принятия решения - это первый шаг на пути к его эффективности.
Конечным продуктом анализа принятого решения всегда будет выступать результат. На основе его можно будет судить, достигнута ли цель, какие были задействованы для ее достижения ресурсы, сколько было потрачено сил и времени, что получилось в итоге, и стоила ли игра свеч.
Итак, если принятое решение связано с какими-либо исчисляемыми величинами, его эффективность вполне поддается вычислению в относительных или абсолютных единицах. Например, если вы решили , рассчитывая выйти на новый уровень дохода, оценить эффективность своего решения вы можете уже по истечении месяца или полугодия. Если вы решили запустить новую рекламу своего продукта, понять, насколько было эффективно это решение, вы сможете, установив прирост клиентов, увеличение процента продаж и чистую прибыль.
В случае, когда решение связано с величинами неисчисляемыми, его оценка происходит иначе. Нужно понять, достигли ли вы поставленного изначально результата. К примеру, поставив перед собой задачу повысить свою личную продуктивность и начать больше успевать, вы решили . Подвести итоги можно будет уже через неделю, проставив галочки рядом с выполненными делами в своем списке.
Аналогичным образом производится оценка принятых решений и в любой другой сфере жизни. Схема предельно проста: цель либо достигается, либо нет. Если она достигнута, вы все сделали правильно, если же нет - нужно что-то менять. Кроме того, оценка эффективности может осуществляться и с оглядкой на затраченные ресурсы: чем меньше сил, времени, денег и других средств вы израсходовали на реализацию своего решения, тем оно эффективнее. Все просто.
Как мы видим, в обычной каждодневной жизни делать анализ принятых решений достаточно легко. Но есть другая категория решений - управленческие, и их анализировать намного сложнее. На эту тему пишутся целые книги и пособия, и рассмотреть все детали в одном уроке, к сожалению, не получится. Однако указать на основы этого процесса вполне реально. Этим мы и займемся.
Принятие любого управленческого решения можно назвать промежуточным этапом между управленческим решением и управленческим воздействием. Это в свою очередь говорит о том, что эффективность такого решения проявляется в совокупности эффективности его разработки и реализации.
Всего существует более шести десятков всевозможных частных показателей эффективности деятельности организации. К ним относятся оборачиваемость оборотных средств, рентабельность, окупаемость вложений, соотношение темпов роста производительности труда и средней заработной платы и т.д.
Оценка эффективности управленческих решений предполагает использование понятия совокупного экономического эффекта, т.к. в полученные результаты в обязательном порядке включается трудовой вклад людей.
Следует сказать также, что для организаций очень важно удовлетворять требования потребителей и в то же время улучшать эконмические показатели своей деятельности. Исходя из этого, при оценке эффективности решений появляется необходимость брать в расчет два аспекта результативности - социальный и экономический.
Проиллюстрировать алгоритм оценки эффективности управленческих решений можно, взяв для примера торговую организацию. Так, чтобы понять, результативным было решение или нет, необходимо вести раздельный учет доходов и расходов касаемо разных товарных групп. Учитывая, что на практике делать это весьма сложно, в процессе анализа распространено использование так называемых удельных качественных показателей. Здесь таковыми являются прибыль из расчета на 1 млн. рублей товарооборота и издержки обращения из расчета на 1 млн. товарных запасов.
Эффективность управленческих решений в торговых организациях выражается совокупно в количественной форме - это прирост объемов товарооборота, повышение скорости оборачиваемости продукта и снижение суммы товарных резервов.
Если же нужно понять итоговый финансово-экономический результат реализации управленческих решений, следует установить, насколько увеличиваются доходы конкретной организации и насколько сокращаются ее расходы.
Определить экономическую эффективность решения, повлиявшего на рост товарооборота и увеличение прибыли, можно при помощи формулы:
Эф П*Т П * (Тф — Тпл), где:
В данном примере экономическую эффективность отражает снижение показателей издержек обращения (коммерческих затрат, затрат на продажу), которые приходятся на остаток товаров. Отсюда и повышение показателей прибыли. Эффективность здесь определяется по формуле:
Эф =ИО*З ИО*(З2 — З1), где:
В нашем случае экономическая эффективность управленческого решения отразилась и на увеличении темпов оборачиваемости товаров. Ее показатель можно рассчитать по формуле:
Эф Ио*Об Ио (Об ф — Об пл), где:
В дополнение ко всему для анализа эффективности управленческих решений принято использовать несколько специализированных методов, упрощающих процедуру и приводящих к более точным результатам.
В процессе оценки эффективности управленческих решений применяется семь основных методов:
На то, насколько будет эффективна работа организации, самым серьезным образом влияют управленческие решения. Это причина, по которой важно максимально овладеть управленческим аппаратом, теорией и практикой разработки и реализации решений. Это значит, что нужно обладать навыком выбора лучшей альтернативы среди нескольких вариантов.
Любые управленческие решения обусловлены достоверностью и полнотой имеющихся данных. Поэтому они могут приниматься как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности.
Принятие управленческих решений как процесс представляет собой циклическую последовательность действий ответственного лица по разрешению актуальных проблем. Эти действия заключаются в анализе ситуации, разработке возможных путей решения, выборе и осуществлении лучшего из них.
Практика показывает, что на принятие решений на любом уровне подвержено погрешностям. На это влияют многие причины, т.к. экономическое развитие включает в себя большое количество самых разных ситуаций, которые нужно разрешать.
Особое место среди причин того, почему управленческие решения оказываются малоэффективными, занимает несоблюдение или банальное незнание технологии их генерации и последующего выполнения. А для этого принято использовать теоретическую информацию, методы и техники, о которых мы говорили в предыдущих уроках.
Все, сказанное выше, безусловно, описывает лишь базовые предпосылки оценки эффективности управленческих решений. Чтобы правильно применять их на практике, необходимо либо иметь соответствующее образование, либо погрузиться в изучение специализированной литературы, т.к. есть огромное количество тонкостей, нюансов, методик и чисто технических данных, которые нужно изучить, усвоить и освоить. Этот урок может служить отправной точкой для последующего углубления в специфику оценки эффективности управленческих решений.
В заключение же нашего курса хотелось бы осветить еще одну тему, знания в которой просто необходимы для принятия правильных решений в жизни, обучении и на работе. Это тема психологии принятия решений. И рассмотрим мы ее с позиции Даниэля Канемана - психолога и одного из основоположников поведенческих финансов и психологической экономической теории. В своих объяснениях иррационального отношения людей к риску в управлении своим поведениям и принятии решений он объединяет когнитивистику и экономику. Идеи Канемана окажут вам существенную поддержку в повышении своей эффективности.
Если вы хотите проверить свои теоретические знания по теме курса и понять, насколько он вам подходит, можете пройти наш тест. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рефера т
Математические методы в принятии решений
Математика как наука с самого зарождения является инструментом в процессе поиска истины, и потому можно считать, что любые математические операции, даже самые простые, являются математическими методами принятия решений. В настоящее время под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта (альтернативы) действий. Процессы принятия решения лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники (машин, приборов, устройств), в строительстве при проектировании новых зданий, при организации функционирования и развития социальных процессов. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Помимо эмпирического восприятия ситуации и интуиции в наше время сложных экономических ситуаций и процессов управления предприятием руководителям требуется некоторая основа и «доказанная гарантия» принимаемого решения. Неизбежно требуется формализация процесса принятия решений. Как правило, важные решения принимаются опытными людьми, довольно далекими от математики, и особенно от ее новых методов, и опасающимися больше потерять от формализации, чем выиграть.
Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному принятию решений. Прошло то время, когда правильные решения принимались «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход - слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют обеспечить предприятию максимально выгодные условия выпуска продукции (максимальная прибыль при минимальных трудовых затратах, материальных и трудовых ресурсах).
В настоящее время поиск оптимальных решений можно рассматривать при помощи разделов классической математики. Так, например, в математической статистике в разделе «принятие решений» изучают способы принятия или не принятия некоторой основной гипотезы при наличии конкурирующей гипотезы с учетом функции потерь. Теория принятия решений развивает методы математической статистики - методы проверки гипотез. Различные величины потерь при выборе разных гипотез приводят к результатам, отличным от тех, которые получены методами статистической проверки гипотез. Выбор менее вероятной гипотезы может оказаться более предпочтительным, если потери в случае ошибочности такого выбора окажутся меньше потерь, вызванных ошибочностью выбора более вероятной конкурирующей гипотезы. Такие задачи называют статистическими задачами принятия решений. Для решения этих задач необходимо найти минимальное значение функции риска на множестве возможных исходов, т.е. решить задачу отыскания условного экстремума. Как правило, для этих задач можно выделить цель и указать условия, т.е. ограничения, при которых они должны быть решены. Подобными задачами занимаются в разделе математики «математическое программирование», который, в свою очередь, является частью раздела «исследование операций».
В роли входных данных выступает реальная задача - произвольным образом сформулированный набор данных о проблемной ситуации. Первым этапом решения задачи является ее формулировка - приведение данных к удобному для построения модели виду. Модель - приближенное (описательное) отображение действительности. Далее по построенной модели осуществляется поиск оптимальных решений и выдача рекомендаций.
Модели можно разбить на 2 большие группы:
Детерминированные модели:
Линейное программирование;
Целочисленное программирование и комбинаторика;
Теория графов;
Потоки в сетях;
Геометрическое программирование;
Нелинейное программирование;
Математическое программирование;
Оптимальное управление.
Стохастические модели:
Теория массового обслуживания;
Теория полезности;
Теория принятия решений;
Теория игр и игровое моделирование;
Теория поиска;
Имитационное моделирование;
Динамическое моделирование.
В принятии решений необходимо найти оптимум некоторого функционала в детерминированной или стохастической форме. Следует отметить две особенности. Во-первых, математические методы принятия решений для задач, связанных с различными направлениями деятельности человека, начинают взаимное проникновение друг в друга, например, оптимизационные задачи управления при переходе от непрерывных переменных к дискретным становятся задачами математического (линейного) программирования, оценка разделяющей функции
в статистических методах принятия решений может проводиться с помощью процедур линейного или квадратичного программирования и т.д. Во-вторых, исходные числовые данные как результат измерений или наблюдений
в задачах принятия решений для реальных ситуаций не являются детерминированными, а чаще являются случайными величинами
с известными или неизвестными законами распределения, поэтому последующая обработка данных требует применения методов математической статистики, теории нечетких множеств или теории возможностей.
Математические методы в экономике и принятии решений можно разделить на несколько групп:
1. Методы оптимизации.
2. Методы, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические.
3. Методы построения и анализа имитационных моделей,
4. Методы анализа конфликтных ситуаций (теория игр).
Методы оптимизации
Оптимизация в математике - операция нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области векторного пространства, ограниченного набором линейных или нелинейных равенств (неравенств).
Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.
Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.
Постановка задачи оптимизации
В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.
Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов ч, образующих множества Ч, найти такой элемент ч*, который обеспечивает минимальное значение f (ч*) заданной функции f(ч). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:
1. Допустимое множество - множество
решение математика игра
2. Целевую функцию - отображение;
3. Критерий поиска (max или min).
Тогда решить задачу означает одно из:
1. Показать, что.
2. Показать, что целевая функция не ограничена снизу.
Если, то найти:
Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.
Если допустимое множество, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае - задачей условной оптимизации.
Классификация методов оптимизации
Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом).
Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:
1. Локальные методы:
сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом / минимумом.
2. Глобальные методы:
имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.
Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:
1. детерминированные;
2. случайные (стохастические);
3. комбинированные.
По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.
По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:
Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями , разрешаются так называемыми методами линейного программирования.
В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:
если и - выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;
если, то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.
По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции частных производных, их также можно разделить на:
· прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;
· методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;
· методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.
Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:
Аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);
Численные методы;
Графические методы.
В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:
· задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) - если X конечно или счётно;
· задачи целочисленного программирования - если X является подмножеством множества целых чисел;
· задачи нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.
Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это - задача линейного программирования.
Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование.
Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.
Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:
1. Определение границ системы оптимизации
Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается
2. Выбор управляемых переменных
«Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)
3. Определение ограничений на управляемые переменные (равенства и / или неравенства).
Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)
4. Создаём целевую функцию.
Вероятностно-статистические методы
Суть вероятностно-статистических методов принятия решений
Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при принятии решений?
Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.
Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр - вероятность Р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.
Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности Р. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить Р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель - на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.
Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.
Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.
Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.
Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.
Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.
Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй - выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.
Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов:
1. Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного.
2. Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.
3. Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном).
Математическая статистика применяет понятия, методы и результаты теории вероятностей. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее.
Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач.
В романе Алексея Николаевича Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держимтесь, - сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 - 300, или из 100 000 - 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи?
Монетка, используемая как жребий, должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать орёл, а в половине случаев - решка. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.
Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие - в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия.
Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.
Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры.
Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.
При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.
Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к ужем рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность - с выпадением орла, отрицательную - решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.
Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.
При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу, например, .
Теория игр
Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором каждая из сторон-участников (две или более) ведут борьбу за свои интересы. Каждая сторона преследует свои цели и пользуется некоторой стратегией, которая может в свою очередь привести к выигрышу или проигрышу (результат зависит от других игроков. Теория игр предоставляет возможность выбора наилучшей стратегии с учетом представлений о других игроках, их возможностях и возможных поступках.
Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).
Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMBЕRS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.
Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.
Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.
В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.
Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т. Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й. Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г.П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).
Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т.п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.
Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль.
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:
1. Наличие нескольких участников;
2. Неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
3. Различие (несовпадение) интересов участников;
4. Взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
5. Наличие правил поведения, известных всем участникам.
Экстенсивная форма
Игра «Ультиматум » в экстенсивной форме
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Нормальная форма игры
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим (?1, ?1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.
Характеристическая функция
В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N - множество всех игроков, а v: 2N > R - это характеристическая функция.
Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.
Применение теории игр
Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.
Описание и моделирование
Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, оно лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.
Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)
С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного» следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.
Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.
Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Симметричные и несимметричные
|
Несимметричная игра |
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».
В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.
С нулевой суммой и с ненулевой суммой
Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.
Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.
Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.
Параллельные и последовательные
В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.
Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной.
С полной или неполной информацией
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» «Дилеммы заключённого» или «Сравнения монеток» заключается в их неполноте.
В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.
Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.
Игры с бесконечным числом шагов
Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.
Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.
Дискретные и непрерывные игры
Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т.п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.
Метаигры
Это игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом). Цель метаигр - увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов.
Методы построения и анализа имитационных моделей (имитационное моделирование).
Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.
Имитационное моделирование - это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация - это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).
Имитационное моделирование - это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.
Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов.
Имитационная модель - логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
Применение имитационного моделирования.
К имитационному моделированию прибегают, когда:
· дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
· невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
· необходимо сымитировать поведение системы во времени.
Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами - разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.
Виды имитационного моделирования
Три подхода имитационного моделирования
Подходы имитационного моделирования на шкале абстракции
· Агентное моделирование - относительно новое (1990-2000 гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей - получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент - некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.
· Дискретно-событийное моделирование - подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие, как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений - от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.
Принятие решений в условиях неопределенности. Критерий Лапласа и принцип недостаточного основания. Критерий крайнего пессимизма. Требования критерия Гурвица. Нахождение минимального риска по Сэвиджу. Выбор оптимальной стратегии при принятии решения.
контрольная работа , добавлен 01.02.2012
Теория статистических решений как поиск оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Критерии принятия решений Лапласа, минимаксный, Сэвиджа, Гурвица и различия между ними. Математические средства описания неопределенностей.
контрольная работа , добавлен 25.03.2009
Применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Описание метода Минти. Выбор среды разработки. Система программирования Delphi. Параметры программного продукта.
курсовая работа , добавлен 31.05.2012
Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.
курсовая работа , добавлен 07.05.2013
Построение экономических и математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Общая методология оптимизационных задач, оценка преимуществ выбранного варианта. Двойственность и симплексный метод решения задач линейного программирования.
курс лекций , добавлен 17.11.2011
Потребность в прогнозировании в современном бизнесе, выявление объективных альтернатив исследуемых экономических процессов и тенденций. Группа статистических методов прогностики, проверка адекватности и точности математических моделей прогнозирования.
курсовая работа , добавлен 13.09.2015
Разработка и принятие правильного решения как задачи работы управленческого персонала организации. Деревья решений - один из методов автоматического анализа данных, преимущества их использования и область применения. Построение деревьев классификации.
контрольная работа , добавлен 08.09.2011
Оптимизация решений динамическими методами. Расчет оптимальных сроков начала строительства объектов. Принятие решений в условиях риска (определение математического ожидания) и неопределенности (оптимальная стратегия поведения завода, правило максимакса).
контрольная работа , добавлен 04.10.2010
Количественное обоснование управленческих решений по улучшению состояния экономических процессов методом математических моделей. Анализ оптимального решения задачи линейного программирования на чувствительность. Понятие многопараметрической оптимизации.
курсовая работа , добавлен 20.04.2015
Изучение на практике современных методов управления и организации производства, совершенствование применения этих методов. Описание ориентированной сети, рассчет показателей сети для принятия управленческих решений. Проблема выбора и оценка поставщика.
Специалисты по информационным системам считают, что состояние любого объекта управления можно охарактеризовать некоторой неопределенностью, или энтропией (H0 = -logPo), выступающей в роли информационного потенциала, обусловливающего переход системы в другое состояние, т. е. наступление какого-либо события, вероятность которого равна P0 .
В практической деятельности целью всякого управляющего является изменение состояния системы, т. е. оказания воздействия, приведшего ее к новому устойчивому состоянию (событию) Руст, которому будет соответствовать другое значение информационного потенциала (Нуст = -logH^), где Руст - вероятность события от приложенного управляющим воздействия на систему.
Тогда мы можем утверждать, что сущность управления, осуществляемого источником информации (руководителем), можно охарактеризовать некоторым информационным напряжением
(4.11)
P ст
DHопт. _ H0 Hуст.
= = DJ упр 5
P
т. е. DHопт »DJупр.
Таким образом, руководители, занимающиеся производственной деятельностью, являются источником управляющей информации. Это следует понимать таким образом. Руководитель человеко-машинного комплекса или ОТС должен обладать таким потенциалом (источником информационного напряжения), которое равно логарифму отношения вероятности правильно принятого решения (Р0), приводящего к вероятности перехода системы в устойчивое состояние Руст, функционирование которого будет осуществляться без дополнительного воздействия на объект управления. Или, другой пример, пусть проректор по информации является источником управляющей информации для всех вычислительных подразделений, имея информационное напряжение, равное вероятности выполнения плана информатизации УлГТУ без дополнительных средств.
Из вышеприведенного следует, что информационное напряжение, т. е. суть источника АН, может быть как положительным, так и отрицательным. Если Руст = Р0, то напряжение источника равно нулю (АН = 0), и тогда роль руководителя в управлении несущественна, бессмысленна, т. е. он не управляет процессом.
Важно теперь то, что мы можем перейти от содержательного описания процесса управления к математическому, но для этого необходимо выбрать единицу измерения информационного потенциала, отождествляя формальное описание энтропии с информационной энтропией и в зависимости от выбора основания логарифма в (4.11) мы приходим к понятию «информационная энтропия», которую будем измерять в битах.
Многие авторы информационную энтропию отождествляют с термодинамической, что на самом деле соответствует физической реальности. В нашем случае пользоваться для измерения информационного напряжения битами можно только при условии, если использовать двоичные логарифмы, как предлагается в работе . Однако не следует информационное напряжение путать с информацией, которая тоже измеряется в битах, это существенно важно.
Для убедительности сказанного рассмотрим пример. Подсчитаем информационное напряжение, которым обладает система охраны компьютерной техники в лабораториях ИЦ МФ. Пусть важнейшим объектом является информационный сервер МФ, на котором хранится вся информация, и при его разрушении или ликвидации нарушается весь учебный процесс факультета. Предположим, что операцию ликвидации сервера проводят два человека, один из которых при срабатывании сигнализации успел сбежать. В этом случае, не имея возможности задержать обоих похитителей, охранники, не владеющие оперативной связью между собой, захватят одного из похитителей с вероятностью
равной 0,5 (Р0 = 0,5). Если же действия охраны согласованы между собой, то они нейтрализуют этого субъекта с возможной вероятностью, равной 1. Тогда имеем, что АН = log2 = 1 бит. Согласно определению логарифма, получим показательное уравнение вида 2х = 1, принимая х = 0, напряжение источника информации (охраны) составит 1 бит.
Следует указать, что согласно рассмотренному примеру, источник с напряжением 1 бит способен передать сколь угодно большое количество информации объекту управления в зависимости от времени, которым он будет располагать. Также важно отметить, что информационное напряжение источника может изменять во времени свое значение, т. е. знак, если важность достижения цели неодинакова в различные моменты времени. Используя математические выражения, описывающие работу автоматических систем управления , для определения переменного информационного напряжения можно воспользоваться формулой
2
ґр Л
уст
V P0)
1 t
IJ
T
dt = o(AH),
log
(4.12)
AH д =
1 ¦ J dt =
которая выражает среднеквадратическое напряжение o(AH). Для случайных изменений сути сигнала х можно воспользоваться выражением
? ? AH0 = Jf (x)AH ¦ dx; A^ = Jf (x)AH2 ¦ dx,
-оо
-оо
где АН0 и АНД - средние и действующие значения сущности сигнала; f(x) - плотность распределения вероятности Р события.
Если AH = A sin
v T)
, то согласно (4.12) действующее значение переменно-
A
го информационного напряжения составляет AH д = -=, что в 1,5 раза меньше
V2
максимального мгновенного значения напряжения.
Эта информация, выданная источником управления, т. е. управляющим, поступает к исполнительным органам («активным элементам») информационной нагрузкой источника, а затем по цепи обратной связи возвращается снова в источник. Обратную связь обеспечивают те же элементы, что и прямую.
Если исполнительные органы являются пассивными и не обладают памятью, они характеризуются только информационным сопротивлением (IR). Следует отметить, что IR - это время (t), т. е. время исполнения управляющего ука-зания.
Более точно IR системы равно времени (tR) исполнения задания от момента получения указания до поступления доклада о его выполнении. При этом время
(tR) для принятия самого решения, т. е. осмысления формулировки, является
внутренним информационным сопротивлением (R В нр) источника информации
(управляющего), которое является обратным пропускной способности системы (Imax) источника информации. И, следовательно, для систем без памяти имеет место информационный закон, аналогичный закону Ома для электрической цепи
ii = (4.13)
FH
где FH = Fn - Бвт - информационное сопротивление нагрузки; Бп и F^ - информационное сопротивление соответственно всей цепи и внутреннее сопротивление источника; I - информационный поток (ток) в цепи нагрузки.
При однократном достижении цели сквозь систему управления проходит информация (1ц), численно равная напряжению источника информации
I, = IFh = DH = DI упР. (4.14)
При длительной работе в течение времени (t) через данную цепь протекает информация
t t DH
1 УПР = J Idt = J-dt. (415)
0 0 Гн
Важно понимать, что эффективность управления зависит не от количества информации и даже не от качества, а насколько она способствует достижению цели, т. е. от ее ценности. Таким образом, ценность информации в первую очередь необходимо связывать с целью, с точностью формулировки задачи. Под качеством информации мы будем понимать степень ее искажения, которая зависит от элементов информационной цепи.
Таким образом, мы можем иметь большой поток информации, но если она не способствует достижению цели и не является точной, например, из-за искажения, поэтому и не будет иметь ценности.
На основании данной методики расчета количества информации, циркулирующей в информационной цепи, появляется также возможность выполнения оценок качества принимаемых решений, что позволяет использовать классические математические процедуры оценивания для решения задач оптимизации.
Подобные задачи рассматриваются в работе .
Известно, что любая задача становится более конкретной, когда она выражена в математической форме. Чтобы поставить математическую задачу, отражающую сущность производства информационных работ, следует к необходимым условиям, изложенным выше, прибавить достаточные, а именно:
уметь пользоваться методикой информационной оценки в сложившейся ситуации;
иметь управляющего, способного нейтрализовать дестабилизирующие факторы, влияющие на данную вероятностную систему.
В работе показано, как вероятностные динамические задачи представляются в виде детерминированных, в рамках которой исследуемые объекты описываются функциями многих переменных, а варьируемые параметры являться их аргументами. Таким образом, принимая ИЦ за вероятностную динамическую систему, его модель можно представить в виде функций многих переменных х = х(х1, ..., хт), где х = f(I); I - информация.
В задачах, не требующих точного решения, можно воспользоваться приближенной оценкой состояния объекта, принимая при этом во внимание только наиболее важный выходной показатель, например, пропускную способность f(x), т. е. эффективность. Тогда, обозначая остальные параметры через функцию ф8(х), s = 1, 2, ..., m, мы приходим к задаче оптимального выбора вектора параметров х. Эта задача представляет собой вычислительный алгоритм, записываемый в виде процедуры оценивания и оптимизации:
max f (x),
(4.16)
>
xeS
S{x: x є X с Rn, js(x) Нам требуется максимизировать показатель качества f(x) на множестве S, заданной системой ограничений, которые сформулированы выше. Здесь элемент х принадлежит множеству S, если хєХ, где Х - некоторое подмножество n-мерного пространства Rn, при выполнении неравенства ф3(х) Обычно множество Х определяет ограничения на допустимые значения варьируемых параметров х типа условий неотрицательности xj>0 или принадлежности интервалу xj А неравенства ф3(х) Существенно важно, что с математической точки зрения сформулированную задачу можно также трактовать как процесс планирования в условиях неопределенности для динамической системы. Тогда она сводится к решению вероятностной задачи линейного программирования, которая с учетом (4.16) записывается в более удобной форме:
max MюCj(w)y L
w
(4.17)
j=1
S^x: xє X,P\ ?asj(w)xj Ls,S = 1,2,...,m.
sJw j s J=!
где Mw - операция усреднения случайной величины w, а Y есть функция f(xj), характеризующая важнейший показатель анализируемой системы, например, пропускную способность комплекса или его эффективность. Оператор усреднения в общем виде записывается в виде
Mw{y(x,w)}=Y(x),
который определяет функцию Y(x) как математическое ожидание случайного вектора y(x,w). Функция Y(x), заданная случайными величинами js(x,w), является вероятностной.
В формулах (4.16) и (4.17) функции f(x) и ф3(х) были заданы алгоритмически, а не аналитически, поэтому мы оперируем случайными величинами, которые математически обозначаются в виде f(x, w) и js(x, w), так что в более строгой форме имеем
f(y)= Mw{f(y,w)},
js(x)= Mw{js(x,w)}. (4.18)
Следует указать, что Y - детерминированная величина, а q(w) является коэффициентом целевой функции.
Условия аВсе случайные параметры, входящие в (4.17), позволяют учесть колебания (отклонения) затрат (z) на выпуск продукции (y) c учетом несвоевременной поставки комплектующих изделий, ЗИПа, программно-технического обеспечения и прочих случайных факторов, в условиях которых функционирует система (вычислительный комплекс).
Чтобы удовлетворить условия задач (4.16) и (4.17), необходимо подобрать
n
вектор х так, чтобы случайное неравенство вида 2 asj(w) ? bs(w) выполнялось
j=1
с вероятностью, равной Ls, и тогда задачу (4.17) можно представить в более простом виде
f(y, w) = 2 Cj(w)y,
j=1
(4.19)
js (x, w) = Ls - 1
j=1
где Ls(w) характеризует совокупность случайных факторов, например, зависящих от поставщиков и потребителей.
Таким образом, рассматриваемая задача относится к разряду вероятностных, потому что условия, в которых существует и функционирует комплекс,
являются неопределенными и зависимыми от многих непредвиденных обстоятельств, не известных непосредственному руководству.
Сформулированная и поставленная задача позволяет связать все важнейшие параметры в систему и учесть случайные факторы, которые в реальной практике существуют всегда.
Данная постановка задачи позволяет отвлечься от содержательной формулировки и перейти к построению математической модели управления, используя теорию автоматического регулирования .
Чтобы практически решить эту задачу управления с заданным качеством выпускаемой продукции, в нее необходимо ввести процедуры принятия оперативного решения, которые должны быть легко адаптированы в целевую функцию. При этом параметры x;=f(I), т. е. выполнение плана x;, можно заменить на количество переработанной информации (I), используя информационные цепи.
Так как решение общей математической задачи управления в рамках данной работы не представляется возможным из-за ее сложности, поэтому мы ее будем представлять в виде отдельных простейших подзадач.
Такая процедура упрощения сложной задачи на практике достигается за счет предварительного согласования отдельных подзадач с непосредственными лицами высшего звена управления, в компетенцию которых относится их решение. Тем самым мы приводим многофакторную задачу к одношаговой, детерминированной. Но, с другой стороны, т. к. в одношаговых задачах принятия решения определяется не величина и характер управляющего воздействия (Н), а непосредственное значение переменной состояния 0 объекта, которое обеспечивает достижение стоящей перед ИК цели, поэтому управляющего высшего уровня не интересует, каким способом будет решена данная задача. Ему важен конечный результат. Следовательно, для конкретного руководителя нижнего уровня задача принятия решения будет считаться заданной, если в нее включены все необходимые параметры, дающие возможность произвести оценку состояния объекта на данный момент времени (t). Тогда в данном конкретном случае задача принятия решения для него будет считаться детерминированной при условии, если определены пространство состояния природы 0 с распределением вероятностей ^(u) для всех ue 0, пространство решений х и критерий качества принятого решения. Взаимосвязь между этими параметрами будем называть целевой функцией (Fq).
Целевую функцию F4, выражающую в явном виде цель, можно рассматривать как одну из важнейших выходных величин объекта управления и обозначим ее через (g). Тогда целевая функция является скалярной величиной, зависящей от состояния природы u и от состояния объекта управления 0. В этом случае сформулированную задачу в математической форме можно представить в виде
g = 0(x, u).
Это и есть математическая модель одношаговой детерминированной задачи принятия решения. Она представляет собой тройку взаимосвязанных параметров, которые можно записать в виде следующей зависимости:
G=(x, 0, q), (4.20)
где q - скалярная функция, определяемая на прямом произведении множеств (ХХ0), тогда G=f(g).
*
Решение этой задачи состоит в нахождении такого х є Х, которое обращает в максимум функцию g, т. е. удовлетворяет условию
X = {x є X: Q(x,u) = max}. (4.21)
Здесь Х=х1, х2, ..., хт - перечень плановых мероприятий ИЦ, при m?N, где N - переменные величины - число плановых мероприятий(задач). Существует несколько методов решения одношаговой задачи.
Представляя переменную Х как количество переработанной информации I в процессе производства вычислительных работ, мы можем записать, что х=Щ), и воспользоваться информационным способом оценки принятия решения. Поэтому при необходимости имеем право произвести оценку деятельности информационного центра в битах.
Опираясь на системные принципы, мы пытались формализовать рутинную работу руководителя информационного подразделения и перевести на научную основу, представив ее в виде задачи управления, с целью повышения оперативности принятия решения в неопределенных условиях.
В практической деятельности специалистов по БИ важную роль играет имеющаяся математическая база. Именно благодаря различным методам количественного анализа, построения экономико-математических моделей, анализа и синтеза на основе системного подхода возможно грамотное управление как отдельными сферами профессиональной деятельности, так и целыми предприятиями, отраслями и даже странами. Особое значение при этом имеют оптимизация и принятие решений, на что и направлены многие существующие методы и инструменты.
Математические методы всегда играли ведущую роль в решении различных прикладных задач бизнеса. Именно благодаря им изучались общие закономерности процессов управления и передачи информации. Это осуществлялось на основе изучения множества теорий, принципов и концепций: теории автоматов, теорий принятия решений и оптимального управления, теории алгоритмов, теории обучающихся систем и многих других. С развитием ИТ математическая база не только стала использоваться для дальнейшей автоматизации моделей и организации вычислений, но и обеспечила возможности для развития технологий в новом направлении.
Например, теория автоматов позволяет представлять вычислительные машины в виде математических моделей и, таким образом, лежит в основе различных цифровых технологий и ПО, применяясь при разработке языков программирования, компиляторов и пр.
В тесной взаимосвязи с теорией автоматов находится теория алгоритмов, так как преобразуемая автоматами информация для каждого момента времени позволяет задавать шаги алгоритма. Современная теория алгоритмов также занимается проблемами формулировки различных задач в терминах формальных языков, вычисляет трудоемкость задач и потребность алгоритма в ресурсах, осуществляет поиск критериев качества алгоритмов.
Среди теорий математики и кибернетики крайне важной является теория принятия решений. Данная область исследований изучает закономерности выбора того или иного альтернативного варианта решения, а также занимается поиском наиболее выгодного из них. В числе некоторых из актуальных вопросов в современной теории принятия решений - теория коллективного выбора, например, в части анализа поведения банков или анализа распределения влияния участников какой-либо организации.
Наиболее близкой к теории принятия решений является теория оптимального управления. Ее отличает работа с иерархическими многоуровневыми системами (например, различного масштаба компаниями), для управления которыми требуются специальные методы анализа, позволяющие сформировать многоцелевые и многофакторные системы управления. Системы переводятся в новое состояние по конкретному критерию оптимальности (отсюда название теории), которым может быть минимизация трудозатрат, денежных и прочих ресурсов и пр. В случае если исходных данных для решения задачи недостаточно, а традиционные количественные методы неприменимы, используются также различные алгоритмы на основе теории нечетких множеств и теории принятия решений в условиях неопределенности. Их крайняя реализация - класс эвристических методов, представляющих собой неформализованные методы, основанные на аналогиях, прошлом опыте, экспертных оценках и прочей информации.
Соответственно для понимания и применения всех этих теорий необходим аппарат математического анализа, линейной алгебры, нелинейного программирования, теории вероятностей, комбинаторики, математической статистики, эконометрики и многие другие теоретико-прикладные дисциплины.
Существует множество областей деятельности, в которых широко используются комбинации вышеописанных дисциплин. Одной из наиболее масштабных областей является исследование операций, к которому относятся теория игр и сетевые методы планирования, теория массового обслуживания, теория расписаний, методы искусственного интеллекта и др. Системный подход в данном случае является основополагающим методологическим принципом в исследовании операций. Благодаря ему формируется единое целостное видение проблемы, для которой составляется определенная математическая модель, описывающая в математических терминах поведение системы/процесса/операции/объекта и исследуемая в дальнейшем. Возможностей построения моделей при этом существует огромное множество: линейные и нелинейные, детерминированные или стохастические, статические или динамические, дискретные или непрерывные, структурные или функциональные (так называемые модели черного ящика). Так, совместное использование теории систем массового обслуживания и математической теории расписаний представляет собой эффективный математический аппарат моделирования организации обслуживания и планирования обработки вычислительных задач в многомашинных и мультипроцессорных вычислительных системах.
Для поддержки математического моделирования с помощью компьютерных систем созданы такие известные программные решения, как Mathematica, Mathcad, MATLAB, AnyLogic.
Как уже было сказано, во многих отраслях деятельности - от биологии до строительства или экономики - важен поиск наиболее эффективных и оптимальных решений. Ярким примером являются геоинформациопные системы, которые благодаря заложенным в них моделям способны вычислить кратчайший маршрут для объезда пробок или найти ближайший кинотеатр. Среди теорий и методов, благодаря которым создание таких моделей стало возможным, - теория графов. В ее основе - представление различных объектов, событий и явлений в виде множества вершин (узлов) и ребер, соединяющих их. В случае геоинформационной системы различные дома и учреждения могут рассматриваться как вершины графов, а дороги, линии электропередач и прочие сети - как ребра графов.
Теория графов, применяемая в химии, позволяет вычислить число возможных изомеров различных органических соединений, а в коммуникационных системах - осуществлять маршрутизацию данных. Подобная же логика может быть применена и в других областях - при календарном планировании производственных процессов, расчете сетей массового обслуживания, анализе продуктовых потоков и в других целях.
Для более наглядного представления о самих методах, применяющихся для решения подобных задач, рассмотрим известную задачу коммивояжера. Ее суть - в поиске оптимального пути (которым может быть самый быстрый, самый короткий, самый дешевый маршрут) через несколько городов с заходом в них минимум один раз и конечным возвратом в исходный город. Разумеется, первым вариантом решения задачи будет ручной перебор всех возможных маршрутов. Однако в случае, когда количество вершин графа (= городов в маршруте) будет исчисляться десятками и сотнями, эффективность подобных вычислений крайне сомнительна. Поэтому оптимальная вариация данного метода - неявный перебор, или метод ветвей и границ. Он основан на идее последовательного разбиения множества допустимых решений, элементы которого на каждом шаге анализируются на предмет содержания в них оптимального решения. В случае поиска минимума (минимальное время, минимальное расстояние и т.д.) для подмножества нижняя оценка целевой функции сравнивается с верхней оценкой функционала. Алгоритм завершает работу, когда просмотрены все элементы разбиения и найдено решение с самой минимальной верхней оценкой.
Существуют также многие другие методы поиска решения: различные виды переборов, «метод ближайшего соседа», «метод имитации отжига», «алгоритм муравьиной колонии», «метод эластичной сети», которые различаюгся степенью точности, трудоемкостью и, конечно, применяемым математическим аппаратом.
Например, известный алгоритм Дейкстры, определяющий кратчайшее расстояние от одной выделенной вершины до всех остальных вершин, использует протоколы маршрутизации SSPF и IS-IS.
Существует также другой класс задач, относящихся к функциям нескольких переменных, для которых имеются различные связи и ограничения. Их рассмотрение проводится численными методами в рамках раздела нелинейного программирования. Например, если для промышленного предприятия целевой функцией будет являться функция прибыли, то ограничениями в таком случае станут изменяющиеся по определенным принципам ресурсы, рабочая сила, постепенно снижающаяся производительность оборудования и пр. Однако данная задача актуальна и для естественных наук, бизнеса, экономики, вычислительной техники и других сфер.
Большинство из вышеупомянутых задач невозможно рассматривать вне привязки еще к одному важнейшему разделу математики и статистики - теории вероятностей. Она изучает случайные явления, события и величины, их свойства и закономерности и строит функции распределения возможных значений величин. Примером использования теории может быть простейший расчет планового числа бракованных изделий на производстве исходя из вероятности их появления при различных условиях и размеров партии изделий.
Теория случайных процессов (броуновское движение, случайные блуждания, полеты Леви) эффективно используется для моделирования колебаний на фондовых рынках.
Такие сферы, как создание биржевых торговых роботов или оценка кредитных рисков, моделирование химических процессов, разработка систем компьютерного зрения или даже таргетинг рекламы, используют именно методы теории вероятностей. Разумеется, в зависимости от имеющихся данных и применяемых инструментов для каждой задачи будут также меняться трудоемкость решения и степень погрешности результата.
Другим примером для теории вероятностей, уже напрямую связанным с областью комбинаторики, являются криптоанализ и шифрование данных, например, взлом паролей через сравнение с наиболее стандартным списком кодов и затем определение вероятности размещения определенных элементов кода в конкретной последовательности через семантический анализ или анализ расположения различных клавиш на устройстве ввода. Комбинаторика является важной составляющей математического аппарата БИ. Она изучает различные дискретные объекты и их множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления) и тесно связана с теорией графов, которую некоторые исследователи даже причисляют к одной из областей комбинаторики. Очень многие сферы деятельности покрываются комбинаторными методами - от образования (составление расписания занятий) до военного дела (расположение подразделений), от экономики (анализ вариантов операций с акциями) до азартных игр (и расчета частоты выигрышей).
Наконец, следует сказать еще о такой науке, как математическая статистика, которая в значительной степени опирается на теорию вероятностей. Именно статистика предоставляет методы регистрации, описания и анализа различных экспериментов и наблюдений для дальнейшего построения моделей процессов и явлений. При этом некоторые методы математической статистики направлены исключительно на описание данных, их визуализацию и интерпретацию, другие - на оценку и проверку гипотез. Например, на это направлен факторный анализ, который позволяет изучать взаимосвязи между значениями переменных и выявлять скрытые переменные факторы, создающие корреляции между переменными.
Благодаря кластерному, дискриминантному, корреляционному анализу и другим методам, пришедшим из математической статистики, возможности современных ИС (от пакетов SAS, SPSS, Statistica до модулей ERP/BI и других систем) позволяют осуществлять имитационное моделирование, проводить распознавание образов, аналитическую обработку данных и решать многие другие комплексные задачи работы со сложными системами.
Одним из последних направлений в исследовании сложных динамических систем является синергетика, включающая теорию динамического хаоса, катастроф и бифуркаций, изучающая закономерности сложных неравновесных процессов на основе присущих им принципов самоорганизации. Здесь, прежде всего, следует отметить успехи синергетического подхода в моделировании нелинейной динамики агрегированных рыночных цен и финансовых странных аттракторов, взаимодействий в системе «вирус - антивирус» вычислительных комплексов.
В данном обзоре приведены не все математические методы, которые могут использоваться специалистами БИ. Автор надеется, что коллеги по БИ сделают полный обзор математических методов системного анализа в своих будущих работах.
Таким образом, среди сфер применения системного подхода :
Реферат
Математические методы в принятии решений
Математика как наука с самого зарождения является инструментом в процессе поиска истины, и потому можно считать, что любые математические операции, даже самые простые, являются математическими методами принятия решений. В настоящее время под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта (альтернативы) действий. Процессы принятия решения лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники (машин, приборов, устройств), в строительстве при проектировании новых зданий, при организации функционирования и развития социальных процессов. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Помимо эмпирического восприятия ситуации и интуиции в наше время сложных экономических ситуаций и процессов управления предприятием руководителям требуется некоторая основа и «доказанная гарантия» принимаемого решения. Неизбежно требуется формализация процесса принятия решений. Как правило, важные решения принимаются опытными людьми, довольно далекими от математики, и особенно от ее новых методов, и опасающимися больше потерять от формализации, чем выиграть.
Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному принятию решений. Прошло то время, когда правильные решения принимались «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход - слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют обеспечить предприятию максимально выгодные условия выпуска продукции (максимальная прибыль при минимальных трудовых затратах, материальных и трудовых ресурсах).
В настоящее время поиск оптимальных решений можно рассматривать при помощи разделов классической математики. Так, например, в математической статистике в разделе «принятие решений» изучают способы принятия или не принятия некоторой основной гипотезы при наличии конкурирующей гипотезы с учетом функции потерь. Теория принятия решений развивает методы математической статистики - методы проверки гипотез. Различные величины потерь при выборе разных гипотез приводят к результатам, отличным от тех, которые получены методами статистической проверки гипотез. Выбор менее вероятной гипотезы может оказаться более предпочтительным, если потери в случае ошибочности такого выбора окажутся меньше потерь, вызванных ошибочностью выбора более вероятной конкурирующей гипотезы. Такие задачи называют статистическими задачами принятия решений. Для решения этих задач необходимо найти минимальное значение функции риска на множестве возможных исходов, т.е. решить задачу отыскания условного экстремума. Как правило, для этих задач можно выделить цель и указать условия, т.е. ограничения, при которых они должны быть решены. Подобными задачами занимаются в разделе математики «математическое программирование», который, в свою очередь, является частью раздела «исследование операций».
В роли входных данных выступает реальная задача - произвольным образом сформулированный набор данных о проблемной ситуации. Первым этапом решения задачи является ее формулировка - приведение данных к удобному для построения модели виду. Модель - приближенное (описательное) отображение действительности. Далее по построенной модели осуществляется поиск оптимальных решений и выдача рекомендаций.
Модели можно разбить на 2 большие группы:
Детерминированные модели:
Линейное программирование;
Целочисленное программирование и комбинаторика;
Теория графов;
Потоки в сетях;
Геометрическое программирование;
Нелинейное программирование;
Математическое программирование;
Оптимальное управление.
Стохастические модели:
Теория массового обслуживания;
Теория полезности;
Теория принятия решений;
Теория игр и игровое моделирование;
Теория поиска;
Имитационное моделирование;
Динамическое моделирование.
В принятии решений необходимо найти оптимум некоторого функционала в детерминированной или стохастической форме. Следует отметить две особенности. Во-первых, математические методы принятия решений для задач, связанных с различными направлениями деятельности человека, начинают взаимное проникновение друг в друга, например, оптимизационные задачи управления при переходе от непрерывных переменных к дискретным становятся задачами математического (линейного) программирования, оценка разделяющей функции
в статистических методах принятия решений может проводиться с помощью процедур линейного или квадратичного программирования и т.д. Во-вторых, исходные числовые данные как результат измерений или наблюдений
в задачах принятия решений для реальных ситуаций не являются детерминированными, а чаще являются случайными величинами
с известными или неизвестными законами распределения, поэтому последующая обработка данных требует применения методов математической статистики, теории нечетких множеств или теории возможностей.
Математические методы в экономике и принятии решений можно разделить на несколько групп:
Методы оптимизации.
Методы, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические.
Методы построения и анализа имитационных моделей,
Методы анализа конфликтных ситуаций (теория игр).
Методы оптимизации
Оптимизация в математике - операция нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области векторного пространства, ограниченного набором линейных или нелинейных равенств (неравенств).
Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.
Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.
Постановка задачи оптимизации
В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.
Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ*, который обеспечивает минимальное значение f (χ*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:
Допустимое
множество - множество
решение математика игра
2. Целевую функцию - отображение ;
Критерий
поиска (max или min).
Тогда решить задачу означает одно из:
Показать, что .
Показать, что целевая функция не ограничена снизу.
Если , то найти:
Если минимизируемая
функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных
минимумов и максимумов: точек таких,
что всюду в некоторой их окрестности 
для минимума и 
для
максимума.
Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае - задачей условной оптимизации.
Классификация методов оптимизации
Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом).
Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:
1. Локальные методы:
сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом / минимумом.
Глобальные методы:
имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.
Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:
1. детерминированные;
Случайные (стохастические);
Комбинированные.
По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.
По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:
Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями , разрешаются так называемыми методами линейного программирования.
В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:
если и - выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;
если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.
· прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;
· методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;
· методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.
Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:
Аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);
Численные методы;
Графические методы.
В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:
· задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) - если X конечно или счётно;
· задачи целочисленного программирования - если X является подмножеством множества целых чисел;
· задачи нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.
Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это - задача линейного программирования.
Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование.
Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.
Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:
Определение границ системы оптимизации
Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается
Выбор управляемых переменных
«Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)
Определение ограничений на управляемые переменные (равенства и / или неравенства).
Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)
Создаём целевую функцию.
Вероятностно-статистические методы
Суть вероятностно-статистических методов принятия решений
Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при принятии решений?
Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.
Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр - вероятность Р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.
Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности Р. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить Р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель - на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.
Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.
Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.
Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.
Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.
Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.
Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй - выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.
Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов:
Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного.
Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.
Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном).
Математическая статистика применяет понятия, методы и результаты теории вероятностей. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее.
Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач.
В романе Алексея Николаевича Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держи́тесь, - сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 - 300, или из 100 000 - 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи?
Монетка, используемая как жребий, должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать орёл, а в половине случаев - решка. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.
Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие - в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия.
Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.
Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры.
Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.
При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.
Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность - с выпадением орла, отрицательную - решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.
Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.
При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу , например, .
Теория игр
Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором каждая из сторон-участников (две или более) ведут борьбу за свои интересы. Каждая сторона преследует свои цели и пользуется некоторой стратегией, которая может в свою очередь привести к выигрышу или проигрышу (результат зависит от других игроков. Теория игр предоставляет возможность выбора наилучшей стратегии с учетом представлений о других игроках, их возможностях и возможных поступках.
Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).
Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMBЕRS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.
Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.
Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.
В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.
Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т. Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й. Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г.П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).
Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т.п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.
Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль.
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:
1. Наличие нескольких участников;
2. Неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
Различие (несовпадение) интересов участников;
Взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
Наличие правил поведения, известных всем участникам.
Экстенсивная форма
Игра «Ультиматум » в экстенсивной форме
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Нормальная форма
игры
В нормальной, или
стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона
(точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого
игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть
выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает
первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим
(−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по
одному очку. Игроки выбирали
стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания
хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых
ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о
том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут
рассмотрены ниже. Характеристическая
функция В кооперативных
играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от
одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей.
Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую
выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой
коалиции равен нулю. Основания такого
подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную
форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами
образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы
игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно
2N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой
характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в
такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N -
множество всех игроков, а v: 2N → R - это характеристическая функция. Подобная форма
представления может быть применена для всех игр, в том числе без
трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести
любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в
обратную сторону возможно не во всех случаях. Применение теории
игр Теория игр, как
один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения
человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала
развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение
экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории
игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр
используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и
психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания
поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз
Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе
Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по
существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в
экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория
игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения
поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки
теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли
теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще
говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения,
высказывались ещё Платоном. Описание и
моделирование Первоначально
теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих
популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения
равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих
популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в
последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых,
предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной
жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения,
максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на
практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке.
Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность,
моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм).
Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения
аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения
не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная
модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр
обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено,
что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх
«Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий,
составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных
экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является
предсказанием ожидаемого поведения, оно лишь объясняет, почему популяции, уже
находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о
том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые
исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение
эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают
ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название,
эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами
естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели
биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения. Нормативный анализ
(выявление наилучшего поведения) С другой стороны,
многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания
поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего
поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает
стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока,
использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне
обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей
подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать
стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также
не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма
заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного»
следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в
худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными
интересами. Кооперативные и
некооперативные Игра называется
кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв
на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои
действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан
играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако
такие механизмы нередки в повседневной жизни. Часто предполагают,
что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с
другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация
разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот. Из двух типов игр,
некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные
результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки
объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша
уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия
некооперативных игр. Гибридные игры
включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки
могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это
значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем
стараясь достичь личной выгоды. Симметричные и
несимметричные
Несимметричная игра
Игра будет
симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то
есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться
местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие
изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются:
«Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве
несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор». В примере справа
игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но
это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б)
будет больше, чем у первого. С нулевой суммой и
с ненулевой суммой
Игры с нулевой
суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где
игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В
этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе.
Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой
клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает
все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное
воровство. Многие изучаемые
математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного
рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно
означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или
больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается
введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет
недостаток средств. Ещё игрой с
отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает
выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война. Параллельные и
последовательные В параллельных
играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о
выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или
динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо
случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о
предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем
полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих
стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других. Различия в
представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые
обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной. С полной или
неполной информацией Важное подмножество
последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре
участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные
стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать
последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх,
так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в
математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» «Дилеммы
заключённого» или «Сравнения монеток» заключается в их неполноте. В то же время есть
интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда
же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие. Часто понятие
полной информации путают с похожим - совершенной информации. Для последнего
достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их
ходов необязательно. Игры с бесконечным
числом шагов Игры в реальном
мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов.
Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются
игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш
не определены до окончания всех ходов. Задача, которая
обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в
поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать,
что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или
«проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование
выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр
имеет важную роль в дескриптивной теории множеств. Дискретные и
непрерывные игры Большинство
изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов
и т.п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных
чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они
связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя
происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные
игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в
технике и технологиях, физике. Метаигры Методы построения и
анализа имитационных моделей (имитационное моделирование). Имитационное
моделирование (ситуационное моделирование) - метод, позволяющий строить модели,
описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель
можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их
множества. При этом результаты будут определяться случайным характером
процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. Имитационное
моделирование - это метод исследования, при котором изучаемая система
заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с
которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе.
Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация - это постижение
сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте). Имитационное
моделирование - это частный случай математического моделирования. Существует
класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические
модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае
аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью. Имитационным
моделированием иногда называют получение частных численных решений
сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных
методов. Имитационная модель
- логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для
экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки
функционирования объекта. Применение
имитационного моделирования. К имитационному
моделированию прибегают, когда: · дорого
или невозможно экспериментировать на реальном объекте; · невозможно
построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи,
последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; · необходимо
сымитировать поведение системы во времени. Цель имитационного
моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе
результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или
другими словами - разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой
предметной области для проведения различных экспериментов. Виды имитационного
моделирования
Три подхода
имитационного моделирования
Подходы
имитационного моделирования на шкале абстракции
· Агентное
моделирование - относительно новое (1990-2000 гг.) направление в имитационном
моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем,
динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и
законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти
глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности
членов группы. Цель агентных моделей - получить представление об этих
глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об
индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и
взаимодействии этих объектов в системе. Агент - некая сущность, обладающая
активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с
некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также
самостоятельно изменяться. · Дискретно-событийное
моделирование - подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от
непрерывной природы событий и рассматривать только основные события
моделируемой системы, такие, как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с
грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее
развито и имеет огромную сферу приложений - от логистики и систем массового
обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования
наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри
Гордоном в 1960-х годах. · Системная
динамика - парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся
графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на
другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется
на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм
помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между
объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели
бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции,
экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах. Области применения · Бизнес-процессы · Бизнес-симуляция · Боевые
действия · Динамика
населения · Дорожное
движение · ИТ-инфраструктура · Математическое
моделирование исторических процессов · Логистика · Пешеходная
динамика · Производство · Рынок
и конкуренция · Сервисные
центры · Цепочки
поставок · Уличное
движение · Управление
проектами · Экономика
здравоохранения · Экосистема · Информационная
безопасность · Релейная
защита
Заключение
Из
вышеперечисленных методов наибольшее применение получили
вероятностно-статистические и теория игр. Вероятностно-статистические методы по
сравнению с другими наиболее доступен и дешев для использования и установки
базы программного обеспечения. Так, применительно для прогнозов (например,
регрессионного анализа) и оптимизации возможно использовать стандартный пакет
программы Microsoft Office Excel. Теория игр значительно
более дорогой метод, меньше изучен с точки зрения научной основы и требует
высококвалифицированных кадров. Однако, в областях особой значимости (политика,
мировые финансовые компании, ТНК) оправдан и необходим.
Использованная
литература
1. А.А. Грешилов, Математические
методы принятия решений, 2-е издание, исправленное и дополненное, Москва, 2014 2. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. -
Санкт-Петербург - Москва - Краснодар: Лань, 2010. Орлов А.И. Устойчивость в
социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. 4. Орлов А.И. Прикладная статистика.
Учебник, 2009 5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 3-е,
исправленное и дополненное. - М.: Изд-во «Экзамен», 2004. 6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М.
Практическая оптимизация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г.
Методы поиска глобального экстремума. - М.: Наука, Физматлит, 1991. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие
решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь,
1981 Бодров В.И., Лазарева Т.Я.,
Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений. Учебное пособие. -
Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2004 Петросян Л.А. Зенкевич Н.А.,
Семина Е.А. Теория игр: Книжный дом «Университет», 1998.
Тематические материалы:
Обновлено: 03.01.2024
103583
Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter
